Analisador de vibrações 5 - as Janelas

Analisador de vibrações 5 – as Janelas

Seguidamente, em analisador de vibrações 5, apresentamos o tema das janelas na forma de onda (“Windows”), quando se efetuam medições de vibrações com um analisador de vibrações. Assim, este artigo faz parte de uma série de artigos que explicam o modo de funcionamento de um analisador de vibrações.

Quando efetuamos análise de vibrações, necessitamos de compreender o modo como funciona um analisador. Por isso, aqui apresentamos os conceitos de análise digital de sinal, implementados num analisador FFT. De forma a serem de fácil compreensão, apresentamo-los sempre do ponto de vista do utilizador, no âmbito de um programa de manutenção preditiva.

Seguidamente, no link, podemos ver a gama de analisadores de vibrações fornecidos pela D4VIB.

Em seguida, em Analisador de Vibrações 5, apresentamos o conteúdo desta série de artigos.

- Introdução
5 Analisador de vibrações 5 – A implementação de janelas na forma de onda (windows)

5.1 A necessidade de janelas

Paralelamente, ao que foi anteriormente referido sobre o aliasing, existe outra propriedade do FFT, que afeta seu uso na análise de domínio de frequência. Recordemos, que o FFT calcula o espectro de frequência, a partir de um conjunto de amostras da entrada, designado de um bloco de tempo.

5.1.1 O que acontece quando a forma de onda é periódica no bloco de tempo

Para começar é de referir, que o FFT baseia-se na suposição de que o bloco de tempo, é repetido ao longo do tempo.

Figura 5.1. O FFT, parte do principio, que o bloco de tempo/forma de onda, é repetido ao longo do tempo.

De facto, com a vibração transitória, da figura anterior, isto não causa nenhum problema.

Por outro lado o que acontece caso se esteja a medir um sinal contínuo?

Tome-se por exemplo o caso de estarmos a medir uma onda de um seno.

Vejamos a situação em que o bloco de tempo contém um número inteiro de ciclos da onda do seno. Então neste caso o bloco de tempo repete-se indefinidamente, e é de facto, a onda real.

Assim, neste caso, a forma de onda de entrada é periódica no bloco de tempo.

Figura 5.2. Nesta situação o sinal de entrada é periódico no bloco de tempo.

5.1.2 O que acontece quando a forma de onda não periódica no bloco de tempo

Pelo contrário, quando a entrada não é periódica no bloco de tempo, a figura a seguir apresentada, mostra a dificuldade com esta suposição.

Nesta situação, o FFT é calculado com base na forma de onda altamente distorcida que vemos em c).

Figura 5.3. Nesta figura vemos a forma de onda não periódica no bloco de tempo.

5.1.3 O que são as as fugas

Sabemos que quando a forma de onda é um seno, o espectro de frequência tem uma única linha. Pelo contrário, sabemos que os fenómenos abruptos num domínio, estão espalhados no outro domínio.

Seguidamente, na Figura, vemos que estas considerações estão corretas numa medida real. Nas figuras a) & b), vê-se uma forma de onda que é periódica no bloco de tempo. Assim, o seu espectro de frequência é uma única linha cuja largura é determinada apenas pela resolução do nosso analisador. Por outro lado, nas figuras c) e d) vemos uma forma de onda sinusoidal que não é periódica no bloco de tempo. Como se previu, a sua energia foi espalhada por todo o espectro, .

a) e b) – Onda sinusoidal periódica no bloco de tempo

c) e d) – Onda sinusoidal não periódica no bloco de tempo

Figura 5.4 Resultados reais da transformada FFT.

Assim, este espalhamento de energia, em todos os domínios de frequência, é conhecido como fuga (leakage). Efetivamente, como o nome indica, vemos fugas de energia, de uma linha do espetro, para todas as outras linhas.

5.1.4 De que resultam as fugas?

Tem de ser ver que, as fugas de energia são devida ao fato de se ter um bloco de tempo finito. De facto, para que uma onda seno tenha um espectro de linha única, ela deve existir para sempre, de menos infinito a mais infinito. Caso se tivesse um bloco de tempo infinito, o FFT calcularia o espectro correto, com uma única de linha. No entanto, só se observa um registo de tempo finito da onda sinusoidal porque não estamos dispostos a esperar para sempre, para medir um espectro. Assim, isto pode causar fugas se a entrada contínua não for periódica, no bloco de tempo.

É óbvio, a partir da observação da Figura 5.4, que o problema do fugas é suficientemente grave para mascarar totalmente pequenos sinais, perto das ondas sinusoidais de maior dimensão. Nestas circunstâncias, o algoritmo de cálculo do espetro de frequência FFT não proporciona um analisador de vibrações útil.

5.2 Analisador de vibrações 5 – O que são as “janelas”?

Tendo em vista a solução deste problema, a seguir, em Analisador de Vibrações 5, vamos ver como é implementada uma solução conhecida como “janelas”( “Windows” em inglês).

Na Figura 5.5 ( a e b) reproduzimos novamente a forma de onda de entrada de um seno que não é periódico no bloco de tempo.

Neste caso, notamos que a maior parte do problema parece estar em ambos os lados do bloco de tempo. De facto, na presente situação o centro é uma onda de seno, bem representada.

Assim, se o FFT pudesse ignorar as extremidades e concentrar-se no meio do bloco de tempo, esperar-se-ia ficar muito mais perto do espectro de linha única, que é o correto.

Por exemplo, se multiplicarmos o bloco de tempo por uma função, que é zero nas extremidades do bloco e grande no meio, o resultado do cálculo do FFT seria sobretudo a partir do meio do bloco de tempo.

Na figura 5.5 c) vemos uma dessas funções.

O nome destas funções é de “funções da janela”. Efetivamente estas funções forçam a olhar os dados, através de uma janela estreita.

Figura 5.5. – Em c) e d), vemos uma “função janela” e o seu efeito na forma de onda que vai servir para calcular o FFT.

5.3 O efeito da função janela

Efetivamente a Figura 5.6, mostra a grande melhoria que se obteve por aplicar janelas a dados que não são periódicos no bloco de tempo.

No entanto, é importante perceber que se adulterou os dados de entrada e não podemos esperar resultados perfeitos. A seguir em Analisador de Vibrações 5, vamos ver esta questão.

O FFT assume que a forma de onda parece a Figura 5.5 d). Por outras palavras o FFT assume a forma de onda como um seno de amplitude modulada. Isto gera um espectro de frequência, que está mais próximo da linha correta da onda de entrada do seno do que a Figura 5.5 b), mas ainda não está correto.

De facto, a Figura 5.6 c) mostra que os dados com janelas não têm um espectro com uma linha tão estreita, quanto uma função, sem janela, que é periódica no bloco de tempo.

a) Onda sinusoidal não periódica dentro do bloco de amostras de tempo

b) FFT resultante sem função de janela

c) Resultados do FFT com uma função de janela Figura 5.6. Redução de fugas com utilização de janelas no bloco de tempo

Figura 5.6 Redução de fugas com utilização de janelas no bloco de tempo

5.4 A janela Hanning

Existem muitas funções que podem ser usada para implementar janelas nas amostras na forma de onda. A seguir em Analisador de Vibrações 5, vamos ver esta os tipos de janelas.

De facto, a de utilização mais comum é designada de Hanning.

A janela Hanning foi utilizada na Figura 5.7, como exemplo de redução de fugas com janelas.

A janela de Hanning também é normalmente usada ao medir vibrações com ruído aleatório. Por exemplo, este é o caso das vibrações estacionárias que medimos nas máquinas.

a) Medição sem fugas – entrada periódica no bloco de tempo

b) Medição com janela – entrada não periódica no bloco de tempo

Figura 5.7. A função janela reduz fugas, mas não as elimina

5.5 A janela uniforme (também designada de rectangular)

5.5.1 Uma limitação da janela Hanning

Viu-se que a janela de Hanning faz um trabalho aceitável nos exemplos de onda sinusoidal, tanto periódicos e não periódicos no registo de tempo. Se isso é verdade, por que razão utilizar outras janelas?

Suponha-se que, em vez de querer o espectro de frequência de um sinal contínuo, se gostaria de obter um espectro de um evento transitório.

Para este fim, na Figura 5.8 a) mostramos uma vibração transitória típica. Caso esta se multiplique pela função da janela na figura 5.8 b), obter-se-ia o sinal altamente distorcido mostrado na figura 5.8 c).

a) Espetro de vibração transitória sem janela

b) Espetro de vibração transitória com janela Hanning

Figura 5.8 Conforme referido aqui vemos a que a função janela Hanning, perde informação de eventos transitórios.

A janela de Hanning transformou o transiente. Este, que tem a energia espalhada extensamente através do domínio da frequência, ficou parecido mais com uma onda do seno.

Portanto, podemos ver que para os fenómenos transitórios não queremos usar a janela de Hanning.

5.5.2 A janela Uniforme

Gostaríamos de usar todos os dados no bloco de tempo de forma igual ou uniforme.

Daqui se usar a janela uniforme que pondera todo o bloco do tempo de forma igual.

Observe na figura 5.8, que o transitório tem a propriedade de ter o valor de zero no início e no final do bloco de tempo. Lembre-se que se introduziu janelas para forçar a entrada a ser zero nas extremidades do bloco de tempo. Neste caso, não há nenhuma necessidade para usar a janela na entrada.

5.6 Sinais de auto-janela

Qualquer sinal como este, é designada de “auto-janela”, porque não requer uma janela. Efetivamente isto é assim, porque ocorre completamente dentro de um bloco de tempo. Estes sinais não geram fugas no FFT e por isso não precisam de janela.

Existem muitos exemplos de sinais de “auto-janela”, alguns dos quais mostramos na Figura 5.10.

A análise em frequência dos seguintes sinais pode ser feito sem janela, devido ao faco de serem sinais de auto-janela:
- Impactos,
- Impulsos,
- Respostas de choque,
- Rajadas de seno, ruído ou impulsos
- Ruído pseudo-aleatório
Figura 5.10. Nesta figura vemos exemplos de sinais de auto-janela.

5.7 A janela de topo plano“Flat Top”

Anteriormente vimos que se necessita de uma janela uniforme, para analisar funções de auto-janela, como seja o exemplo de vibrações transientes.

Além disso, precisamos de uma janela de Hanning para medir o ruído e sinais periódicos, como ondas sinusoidais.

Agora é necessário introduzir uma terceira função de janela. Assim agora introduzimos, a janela de topo plano, para evitar um efeito da janela de Hanning.

5.7.1 Limitações da janela Hanning

Para se entender este efeito, é preciso olhar para a janela de Hanning no domínio de frequência.

Recordemos que o FFT age como um conjunto de filtros paralelos. A figura 5.11 mostra a forma daqueles filtros, quando se usa janela de Hanning. Podemos ver que a função Hanning dá ao filtro, um topo muito arredondado. Nesta situação se uma componente de frequência do sinal analisado, cair no centro no filtro, o seu nível será medido com precisão. Caso contrário, a forma do filtro irá atenuar o componente até 1,5 dB (16%), quando cai no meio do intervalo entre os filtros.

Figura 5.11. – Nesta figura vemos a forma com a janela Hanning atenua a amplitude da componente de frequência.

De facto, quando se está a tentar medir a amplitude de um sinal, com precisão, este erro é muito grande.

5.7.2 A precisão de medida da janela de topo plano

Assim temos que a solução para este problema, consiste em escolher uma função de janela que dê ao filtro um topo mais plano.

Figura 5.12 Mostra-se esta forma de topo mais plano.

Efetivamente, o erro de amplitude desta janela não excede 0,1 dB (1%). Deste modo, na precisão da medição, obtivemos uma melhoria de 1,4 dB.

5.7.3 A redução de resolução da janela de topo plano

É de notar que a melhoria da exatidão na medição do nível, não vem sem um preço.

A figura 5.15 mostra que se achatou a parte superior da janela, em detrimento de alargar as saias do filtro. Por isso, perdemos alguma capacidade de resolução e da capacidade de observar uma pequena componente, perto de uma grande.

Alguns analisadores de vibrações oferecem comandos e funções da janela “flat-top”. Desta forma podemos escolher entre a exatidão acrescida para um trabalho de equilibragem, por exemplo, ou a resolução em frequência, melhorada, da janela “Hanning”.

Figura 5.13. Nesta figura vemos a resolução reduzida da janela de topo plano

5.8 Analisador de vibrações 5 – Outras funções da janela

Existem muitas outras funções de janela, mas as três listadas acima são as mais comuns para medidas gerais. Todavia para situações especiais da medida, podem ser úteis outros grupos de funções de janela.

A seguir referem-se duas janelas que são particularmente úteis, ao medir a resposta em frequência de estruturas mecânicas, por meio de testes de impacto.

5.8.1 Ensaio de impacto – as janelas da força e da resposta

Utiliza-se frequentemente um martelo instrumentado, para impactar uma estrutura e colocá-la a vibrar à sua frequência natural.

Para medir a força do impacto, no topo da cabeça de impacto do martelo, é colocado um transdutor de força. Assim os martelos instrumentados usam-se para determinação de frequências naturais e medição de resposta em frequência.

Normalmente, a entrada de força está ligada a um canal do analisador e a resposta da estrutura, medida com um acelerómetro, está ligada a outro canal.

Este impacto da força é obviamente uma função de auto-janela. A resposta da estrutura também é de auto-janela. Isto de facto é assim se o sinal desaparecer dentro do bloco de tempo do analisador.

5.8.2 A janela de resposta

De forma a garantir que a resposta vai a zero até ao final do bloco de tempo, às vezes é adicionada uma janela exponencial. Assim, esta janela é designada de janela de resposta.

A Figura 5.14 mostra uma janela de resposta, atuando sobre a resposta de uma estrutura pouco amortecida.

Devido à estrutura ser pouco amortecida, a vibração não decaiu totalmente até o final do bloco de tempo.

Observe-se que, ao contrário da janela de Hanning, o valor da janela de resposta não é zero, em ambas as extremidades do bloco de tempo.

Sabe-se que a resposta da estrutura será zero no início do bloco de tempo (antes do golpe de martelo). Visto isto, não existe necessidade da função de janela aí ter o valor de zero.

Além disso, sabemos que a maioria da informação sobre a resposta estrutural, está contida no início do bloco de tempo. Por isto, é necessário garantir que esta zona, seja mais levada em conta, pela função de janela da resposta.

Figura 5.14. Nesta figura vemos como se utiliza a janela exponencial.

5.8.3 A janela de força

O bloco de tempo da força excitadora, deve ser apenas o sinal de impacto com a estrutura. No entanto, o movimento do martelo antes e depois de bater na estrutura, pode causar ruído no bloco de tempo.

Para evitar isto usamos uma janela de força. Assim, podemos ver isto na Figura 5.15.

A janela de força tem um valor igual à unidade, onde os dados de impacto são válidos e zero em todos os outros lugares. Efetivamente isto é assim, para que o analisador não meça nenhum ruído, que possa estar presente.

Figura 5.15. -Aqui vemos como se utiliza a janela da força.

5.9 – Formas de filtro passa banda ou funções de janela?

Conforme anteriormente referido, umas vezes referiu-se funções de janela no domínio do tempo. Noutras ocasiões, referiu-se o tema utilizando-se a referência à forma de filtros passa-banda no domínio de frequência, causada por essas janelas. Nas duas situações mudou-se a perspetiva livremente para o domínio que produza a explicação mais simples.

Da mesma forma, alguns analisadores de vibrações chamam as janelas uniforme, hanning e flat-top “janelas” e outros analisadores chamam essas funções “formas passa banda”.

De facto usamos a terminologia que é mais fácil para o problema em questão. Isto deve-se a eles serem completamente intercambiáveis. De mesmo igual modo, os domínios de tempo e frequência são completamente equivalentes.

Por exemplo na especificação do analisador de vibrações ADASH 4500VA refere-se que dispõe das seguintes janelas: Rectangular, Hanning, Exponential, Transient.